ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 ordinaria

QUESTIONARIO

1. Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64 a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

2. I poliedri regolari – noti anche come solidi platonici – sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sai dimostrarlo?

3 Un foglio di carta deve contenere un’area di stampa di 50 cm² , margini superiore ed inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si può utilizzare?

4. La capacità di un serbatoio è pari a quella del cubo iscritto in una sfera di un metro di diametro, quanti sono, approssimativamente, i litri di liquido che può contenere il serbatoio?

5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a+b) ⁿ è uguale a 2ⁿ per ogni nÎN

6. L’equazione risolvente un dato problema è: kcos2x-5k+2=0 dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni: 15°<x<45° . Si discuta per quali valori di k le radici dell’equazione siano soluzioni del problema.

7. La funzione f(x)= x³ – 2x² soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nell’intervallo [0,1] ? Se si, si trova il punto c che compare nella formula [f(b)-f(a)]/ (b-a) = f’(c)

8. La funzione f(x)=tgx assume valore di segno opposto negli estremi dell’intervallo I=[p/4 , ¾ p], eppure non esiste alcun x ÎI tale che f(x)=0. E’ così ? Perché?

9. Della funzione f(x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: f’(x)= f( x) e f(0)=1 . Puoi determinare f(x) ?

10. La funzione f(x)=asenx + bcosx ha un estremo relativo per x=4/3 p ed è f(2/3 p)=1. Si trovino a e b e si dica quale è il periodo di f(x).