ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO ORDINARIO 2005

QUESTIONARIO

1. Si dimostri che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio e si utilizzi il risultato per calcolare sen18°, sen36°.

2. Una bevanda viene venduta in lattine, ovvero contenitori a forma di cilindro circolare retto, realizzati con fogli di latta. Se una lattina ha la capacità di 0,4 litri, quali devono essere le sue dimensioni in centimetri, affinché sia minima la quantità di materiale necessario per

realizzarla? (Si trascuri lo spessore della latta).

2. Si dimostri che la curva y=x sen x è tangente alla retta y =x quando sen =1 ed è tangente alla retta y = -x quando sen x=-1

4. Si dimostri che tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.

5. Il numero e di Nepero [nome latinizzato dello scozzese John Napier (1550-1617)]: come si definisce? Perché la derivata di e^x è e^x ?

6. Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perchè?

7. Se f(x)= x⁴ – 4x³ +4x² +3, per quanti numeri reali k è f(k) = 2 ? Si illustri il ragionamento seguito.

8. I centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro. E’ un ottaedro regolare? Quale è il rapporto tra i volumi dei due solidi?

9. Si calcoli, senza l’aiuto della calcolatrice, il valore di:

sen² 35° + sen²55° ove le misure degli angoli sono in gradi sessagesimali.

10. Si dimostri, calcolandone la derivata, che la funzione

f(x)=arctg x- arctg[(x-1)/(x+1)] è costante, indi si calcoli il valore di tale costante.