TESINA STUDIO DI UNA FUNZIONE AD 1 VARIABILE
a cura del Prof.Sampognaro Giuseppe.
Per facilitare
lo STUDIO DI UNA FUNZIONE AD 1 VARIABILE e' conveniente svolgere attentamente i
seguenti passaggi rispettando rigorosamente l'ordine di esecuzione:
a)TIPO DELLA FUNZIONE
b)DOMINIO DELLA FUNZIONE
c)SEGNO DELLA FUNZIONE
d)COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO
e)INTERSEZIONE CON GLI ASSI
f)RICERCA DEGLI ASINTOTI
g)RICERCA EVENTUALI INTERSEZIONI TRA FUNZIONE ED
ASINTOTO ORIZZONTALE O OBLIQUO
h)RICERCA DEGLI INTERVALLI DI CRESCENZA,DECRESCENZA E
DELLE ASCISSE ED ORDINATE DEI PUNTI DI MASSIMO O MINIMO
i)RICERCA DEGLI INTERVALLI DI CONCAVITA',CONVESSITA' E
ASCISSE ED ORDINATE DEI PUNTI DI
FLESSO
l)RICERCA EVENTUALI SIMMETRIE
m)RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA FUNZIONE SEGUENDO
ATTENTAMENTE NELL'ORDINE I RISULTATI OTTENUTI
a)TIPO DELLA FUNZIONE
Una funzione
si puo' classificare entro i seguenti tipi:
1)FUNZIONE RAZIONALE INTERA:se e' del tipo y=P(x) dove
P(x) e' un polinomio nella variabile x.
2)FUNZIONE RAZIONALE FRATTA:se e' del tipo
y=[P(x)/Q(x)] dove P(x) e Q(x) sono 2 polinomi nella variabile x
3)FUNZIONE IRRAZIONALE INTERA:se e' del tipo y=Radice
ennesima[P(x)]
4)FUNZIONE IRRAZIONALE FRATTA:se e' del tipo y=Radice
ennesima[P(x)/Q(x)]
5)FUNZIONE TRASCENDENTE ESPONENZIALE:se e' del tipo
y=a^[P(x)] oppure y=a^[P(x)/Q(x)]
6)FUNZIONE TRASCENDENTE LOGARITMICA:se e' del tipo
y=Log[P(x)] oppure y=Log[P(x)/Q(x)]
7)FUNZIONE TRASCENDENTE TRIGONOMETRICA:se compaiono in
essa espressioni trigonometriche.
b)DOMINIO DELLA FUNZIONE
1)Se la funzione e' RAZIONALE INTERA il dominio
risulta:
Per ogni
valore di x appartenente al campo Reale
2)Se la funzione e' RAZIONALE FRATTA il dominio
risulta:
Per ogni
valore di x appartenente al campo Reale ad
esclusione
dei valori che annullano il denominatore Q(x)
3)Se la funzione e' IRRAZIONALE INTERA(FRATTA) con
indice del radicale dispari allora il dominio e' come quello delle RAZIONALI
INTERE(FRATTE)
4)Se la funzione e' IRRAZIONALE INTERA con indice del
radicale pari allora si impone al radicando d'essere positivo o nullo
5)Se la funzione e' IRRAZIONALE FRATTA con indice del
radicale pari,allora si impone al radicando d'essere positivo o nullo
6)Se la funzione e" TRASCENDENTE ESPONENZIALE
allora il dominio e" come quello delle funzioni RAZIONALI INTERE O FRATTE
7)Se la funzione e' TRASCENDENTE LOGARITMICA allora si
impone all'argomento d'essere positivo
c)SEGNO DELLA FUNZIONE
Tale passaggio occupa un posto preminente nello STUDIO
DI UNA FUNZIONE poiche' con esso e' possibile delimitare la parte di piano
entro la quale esiste la funzione.
Si vanno a cercare gli intervalli del dominio nei quali
la funzione risulta o positiva o negativa.Se la funzione e' y=f(x) allora si
impone y>0 e di conseguenza si avra' f(x)>0.
Risolta tale disequazione si ottengono gli intervalli
della x in cui la funzione e' positiva e nello stesso tempo si trovano gli
intervalli in cui la funzione e' negativa.
Fatto questo passaggio necessita fissare il sistema di
assi cartesiani e porre in essi i primi risultati ottenuti precedentemente per
poter gia' iniziare la rappresentazione grafica della funzione considerata.
d)COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO
Dopo aver trovato gli estremi del dominio e' necessario
capire il comportamento della funzione in prossimita' di questi estremi.
Per tale motivo si cercano i limiti della funzione al
tendere di x ai valori estremanti del dominio.Si rammenta a questo punto che se
si trova una forma indeterminata del tipo 0/0 oppure infinito/infinito allora
si dovra' ricorrere alla Regola di De L'Hopital derivando distintamente
Numeratore e Denomminatore.
Inoltre si ricorda che tali comportamenti servono a
trovare anche gli ASINTOTI della Funzione data come da paragrafo successivo.
e)INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Per trovare i
punti d'incontro con i due assi cartesiani basta fare due sistemi tra la
funzione e i 2 assi.
Si rammenta che l'asse X ha equazione Y=0,mentre l'asse
Y ha equazione X=0.
f)ASINTOTI DELLA FUNZIONE
Si premette che una FUNZIONE RAZIONALE INTERA non
ammette ASINTOTI di alcun genere.
Si definisce ASINTOTO di una Funzione una retta alla
quale la curva rapppresentativa della funzione si avvicina senza mai toccarla
ad eccezione degli asintoti orizzontali o obliqui che possono anche incontrare
la curva.
Per cercare gli ASINTOTI VERTICALI di una
funzione(normalmente fratta) si trovano prima le radici del DENOMINATORE e
quindi si fa il limite per X tendente ai valori che si sono trovati.Se il
risultato e' infinito allora X=X1 e' asintoto verticale della funzione.
Per cercare gli ASINTOTI ORIZZONTALI di una
funzione(normalmente fratta) si calcolano i limiti per X tendente a -infinito
ed anche a +infinito.Se il risultato e' un numero finito h allora si dira' che
y=h e' l'asintoto orizzontale.
Per cercare gli ASINTOTI OBLIQUI di una
funzione(normalmente fratta) si ricorda dapprima che una retta obliqua ha
equazione esplicita del tipo y=mx+n. Il valore di m sara' dato dal limite per x
tendente a +infinito del rapporto tra la funzione ed x.Se il risultato e'
diverso da 0 allora il valore di n e' dato dal limite per x tendente a
+infinito della differenza della funzione e mx.
METODO TECNICO
PER TROVARE GLI ASINTOTI DI UNA FUNZIONE
RAZIONALE FRATTA
1)Si scompone il Numeratore e il Denominatore con
relativa eventuale semplificazione
2)Si cercano le radici del Denominatore e se essi sono
xi si dira' che x=xi sono gli asintoti verticali
3)Se il grado del Numeratore e' inferiore al grado del
Denominatore allora esiste l'Asintoto Orizzontale che e' y=0(asse delle
ascisse)
4)Se il grado del Numeratore e' uguale a quello del
Denominatore allora esiste l'Asintoto Orizzontale che risulta y=t dove t
risulta il rapporto dei coefficenti di grado maggiore tra Numeratore e
Denominatore(ovvero e' il quoziente della divisione tra Numeratore e
Denominatore)
5)Se il grado del Numeratore e' superiore a quello del
denominatore di un solo grado allora esiste l'Asintoto Obliquo la cui equazione
e' y=mx+n dove mx+n risulta il quoziente della divisione tra Numeratore e
Denominatore
6)Se il grado del Numeratore e' superiore a quello del
Denominatore di piu' di un grado allora esistera' un Asintoto Curvo di
equazione y=q(x) dove q(x) risulta il quoziente tra Numeratore e Denominatore.
g)RICERCA
EVENTUALI INTERSEZIONI TRA ASINTOTI ORIZZONTALI
OPPURE OBLIQUI CON LA FUNZIONE
Innanzitutto si premette che una qualsiasi funzione non
puo' incontrare MAI gli Asintoti Verticali poiche' se x=l e' un asintoto
verticale allora x=l e' un punto di
discontinuita' della funzione o punto d'infinito.
Possono invece esistere Intersezioni tra gli asintoti
orizzontali oppure obliqui con la funzione.Per trovare queste eventuali
intersezioni basta fare il sistema tra la curva e i rispettivi asintoti.
h)RICERCA
INTERVALLI DI CRESCENZA,DECRESCENZA E ASCISSI DEI
PUNTI DI MINIMO E MASSIMO
Si procede in questo modo:
1)Si calcola la derivata prima della funzione ovvero la
y'
2)Si impone ad essa d'essere positiva ovvero si risolve
la disequazione y'>0
3)Trovati i risultati si dira' che essi sono gli
intervalli di crescenza mentre i rimanenti del dominio risultano gli intervalli
di decrescenza.
4)Si illustra con un grafico il risultato ottenuto
definendo nello stesso le ascissi dei punti di minimo e di massimo per i quali
y'=0
5)Si sostituiscono le ascissi trovate nella funzione
data per determinare le rispettive ordinate.
i)RICERCA
INTERVALLI DI CONCAVITA',CONVESSITA' E ASCISSI DEI
PUNTI
DI FLESSO
Si procede in questo modo:
1)Si calcola la derivata seconda della funzione data
ovvero la y"
2)Si impone ad essa d'essere positiva ovvero si risolve
la disequazione y">0
3)Trovati i risultati si dira' che essi sono gli
intervalli di concavita' mentre i rimanenti del dominio risultano quelli di
convessita'
4)Si illustra con un grafico il risultato ottenuto
definendo nello stesso le ascissi dei punti di flesso per i i seguenti passaggi
5)Si sostituiscono le ascissi trovate nella funzione
data per determinare le rispettive ordinate.
l)RICERCA EVENTUALI SIMMETRIE
Le simmetrie piu' importanti che possono essere
riscontrate in uno studio di funzione sono:
1)Simmetria rispetto l'asse delle ordinate:in questo
caso deve avvenire che f(x)=f(-x).Se la funzione e' RAZIONALE o IRRAZIONALE
basta che la variabile indipendente x compaia solo con grado pari
2)Simmetria rispetto l'origine:in questo caso deve
avvenire che f(x)=-f(-x)
3)Simmetria rispetto l'asse delle ascisse:e' il caso
meno frequente.In questo caso deve avvenire che f(y)=f(-y).In pratica accade
quando la funzione e' IRRAZIONALE con indice pari.
m)RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA FUNZIONE
Rappresenta essere la parte piu' importante ma nello
stesso tempo la piu' semplice se si procede in questo modo:
1)Si rappresentano gli asintoti della funzione e i
punti derivanti dalle intersezioni con gli assi e dalle intersezioni con gli
asintoti orizzontali o obliqui
2)Si tirino delle verticali non continue in
corrispondenza delle intersezioni con l'asse delle ascissi
3)Si cancellino le parti di piano in cui la funzione o
non e' positiva o non e' negativa(vedi il segno della funzione)
4)Si rappresenti la funzione spostandosi(rispetto
l'asse delle ascissi) da -infinito a +infinito rispettando asintoti e punti per
i quali passa la funzione.
NB) LO STUDIO PRECEDENTE PUO' RISULTARE VALIDO PER
TUTTE LE FUNZIONI RAZIONALI O IRRAZIONALI;PER LE FUNZIONI TRASCENDENTI LO
STUDIO DEVE ESSERE INTEGRATO CON ARGOMENTI IN PARTE ESTRANEI AL PROGRAMMA
SVOLTO NEL QUINQUENNIO DELLE SCUOLE MEDIE SUPERIORI .