FUNZIONI A 2 O PIU'VARIABILI REALI(CONCETTO);

DOMINIO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI;

LINEE DI LIVELLO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI;

INTORNO CIRCOLARE DI UN PUNTO;

CONTINUITA' DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI;

ENUNCIATO TEOREMA DI WEIERSTRASS;

DERIVATE PARZIALI E DIFFERENZIALE DI UNA FUNZ.A 2 VAR.

EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE IN UN PUNTO DI UNA FUNZ.A 2 VAR

MASSIMI E MINIMI LIBERI E VINCOLATI DI UNA FUNZ.A 2 VAR.

a cura del Prof.Sampognaro Giuseppe

1)CONCETTO DI UNA FUNZIONE A 2 O PIU' VARIABILI REALI

Se consideriamo una coppia di numeri reali X,Y e ad essi facciamo corrispondere un altro numero reale Z,allora abbiamo determinato una funzione reale di due variabili reali.In generale si dira' FUNZIONE REALE DI DUE VARIABILI REALI una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali (X,Y), appartenenti ad R^2,uno ed un solo numero reale Z .Tecnicamente si scrivera':

(X,Y) --> Z=f(X,Y).

Si definira' invece FUNZIONE REALE DI N VARIABILI REALI una relazione che associa ad ogni n-upla di numeri reali(x1,x2..xn),appartenenti ad R^n,uno ed un solo numero reale Z.Tecnicamente si scrivera':

(x1,x2..xn) ---> Z=f(x1,x2...xn)

2)DOMINIO e CODOMINIO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Come per le funzioni ad 1 variabile si definisce DOMINIO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI l'insieme dei valori che possono essere attribuiti alle variabili indipendenti (X,Y) della funzione data.

Si definisce invece CODOMINIO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI l'insieme dei valori che corrispondono alla variabile dipendente Z.

Si tengano sempre presenti le differenze tra le FUNZIONI AD 1 VARIABILE e quelle a 2 VARIABILI:

1)Il GRAFICO di una FUNZIONE AD 1 VARIABILE risulta una curva rappresentabile nel piano cartesiano.

2)Il GRAFICO di una FUNZIONE A 2 VARIABILI risulta una superficie rappresentabile nello spazio a 3 dimensioni.

3)Il DOMINIO di una FUNZIONE ad 1 VARIBALE risulta l'asse reale o parte di esso

4)Il DOMINIO di una FUNZIONE A 2 VARIABILI risulta il piano R^2 o parte di esso.

In base al 4) caso si puo' allora dire che:

a)Il DOMINIO di una FUNZIONE A 2 VARIABILI razionale non fratta risulta il piano R^2

b)Il DOMINIO du una FUNZIONE A 2 VARIABILI razionale fratta risulta il piano R^2 privato dei punti della curva presente nel suo denominatore.

c)Se la FUNZIONE A 2 VARIABILI e' IRRAZIONALE o TRASCENDENTE si riprende la teoria delle FUNZIONI AD 1 VARIABILE IRRAZIONALI o TRASCENDENTI in relazione al DOMINIO.

3)LINEE DI LIVELLO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Per poter rappresentare una FUNZIONE A 2 VARIABILI con una certa approssimazione reale e' necessario cercare le linee di livello della suddetta FUNZIONE.

Le LINEE DI LIVELLO di una FUNZIONE A 2 VARIABILI risultano l'insieme delle intersezioni tra la stessa funzione e l'insieme dei piani paralleli Z=K al variare di K nell'insieme dei numeri reali.In pratica per trovare una linea di livello si fa il sistema tra la funzione data ed un piano definito con Z uguale ad un particolare numero K.In questo modo viene a determinarsi o una retta o una curva che risulta l'immagine della data FUNZIONE nella quota K.

Le LINEE DI LIVELLO sono RETTE se la funzione data,scritta in forma implicita,risulta di secondo grado solo nei termini dove esiste Z;

Le LINEE DI LIVELLO sono coniche(parabole,ellissi,cerchi,iperboli) se la funzione data,scritta in forma implicita,risulta di terzo grado solo nei termini dove esiste Z oppure di secondo grado in almeno un termine non contenente Z.

Le LINEE DI LIVELLO sono curve di grado superiore al secondo se la funzione data,scritta in forma implicita,ha grado superiore al terzo nei termini contenenti Z o almeno di terzo grado nei termini non contenenti Z.

Se le LINEE DI LIVELLO sono coniche di equazione generica:

aX^2+bY^2+2cXY+2dX+2eY+f=0 ricordare che :

1)Risulta conica riducibile a 2 rette(degenere) se il DETERMINANTE dei COEFFICENTI e' uguale a zero

2)Risulta conica non degenere se tale DETERMINANTE e' diverso da zero.In pratica il DETERMINANTE DEI COEFFICENTI risulta

a c d

c b e

d e f

3)Dopo aver definito A33 il determinante complemento algebrico di f ovvero il determinante

a c

c b

diremo che tale conica e' IPERBOLE se A33<0; e'ELLISSE se A33>0 ;

e' PARABOLA se A33=0.

In particolare se e' Ellisse risulta CIRCONFERENZA se a=b.

4)INTORNO CIRCOLARE DI UN PUNTO DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Si definisce intorno circolare aperto di un punto P(X0,Y0) l'insieme dei punti del piano interni alla circonferenza di centro P e raggio r ovvero i punti del piano Q(X,Y) per i quali risulta verificata la disequazione (X-X0)^2 + (Y-Y0)^2 < r^2

L'intorno circolare si dira' chiuso se la disequazione risulta <=

5)CONTINUITA' DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Come per le FUNZIONI AD 1 VARIABILE si potra' dire che una FUNZIONE A 2 VARIABILI risulta CONTINUA in un punto P0 appartenente al suo Dominio se risulta

lim f(P) = f(P0)

P--> P0

Possiamo altresi' affermare che una FUNZIONE A 2 VARIABILI e' continua in tutto il suo Dominio se risulta continua in ogni punto del suo Dominio.

6)ENUNCIATO DEL TEOREMA DI WEIERSTRASS

Afferma che UNA FUNZIONE CONTINUA IN UN INSIEME CHIUSO E LIMITATO S (SOTTOINSIEME DEL SUO DOMINIO),HA CERTAMENTE UN MINIMO ASSOLUTO ED UN MASSIMO ASSOLUTO NELL'INSIEME S.

7)DERIVATE PARZIALI e DIFFERENZIALE di una

FUNZIONE A 2 VARIABILI

La derivazione di una funzione a 2 variabili ha la stessa importanza della derivata di una funzione ad 1 variabile.Cosi' per trovare la crescenza e la decrescenza e i punti di minimo e massimo di una funzione a 2 variabili si utilizzano anche le derivate di tale funzione.La derivazione di una funzione a 2 variabili,pero',puo' essere eseguita in due modi.

Infatti essa puo' essere fatta o in funzione della variabile X oppure in funzione della variabile Y.

L'introduzione ad essa avviene come per le funzioni ad 1 variabile,ovvero come limite di un rapporto incrementale.

Si definisce infatti DERIVATA PARZIALE in un punto P(X0,Y0) di una FUNZIONE A 2 VARIABILI rispetto la variabile X il

lim f(X0+h,Y0)-f(X0,Y0)

h-->0 -----------------

Si definisce DERIVATA PARZIALE in un punto P(X0,Y0) di una FUNZIONE A 2 VARIABILI rispetto la variabile Y il

lim f(X0,Y0+k)-f(X0,Y0)

k-->0 -------------------

Ovviamente esiste una definizione generale per una qualsiasi derivata parziale e precisamente:

SI DEFINISCE DERIVATA PARZIALE RISPETTO AD UNA DELLE DUE VARIABILI DI UNA FUNZIONE REALE A DUE VARIABILI Z=f(X,Y),LA DERIVATA DELLA FUNZIONE QUANDO L'ALTRA VARIABILE SI CONSIDERA COSTANTE.

La derivata prima rispetto la X si indica f'x

La derivata prima rispetto la Y si indica f'y

La derivata seconda rispetto la X si indica f''xx

La derivata seconda rispetto la Y si indica f''yy

Esiste anche una derivata seconda mista f''xy per la quale vale un teorema detto dell'inversione dell'ordine di derivazione che afferma: Se in un intorno di P(X0,Y0) esistono le derivate parziali prime e seconde e se la f''yx risulta continua in P allora esiste in P anche la f''xy e risultera' f"xy=f"yx

Si definisce DIFFERENZIALE TOTALE di una FUNZIONE A 2 VARIABILI la quantita'

df= f'x dx + f'y dy

8)EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE AD UNA FUNZIONE A 2

VARIABILI IN UN SUO PUNTO P(X0,Y0)

Consideriamo di avere una FUNZIONE A 2 VARIABILI ed un suo punto P(X0,Y0).

Vogliamo scrivere l'EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE ALLA SUPERFICIE INDIVIDUATA DALLA FUNZIONE DATA NEL SUO PUNTO P.

Attraverso una dimostrazione di cui si omette la dimostrazione si verifica che tale equazione risulta

Z = f(X0,Y0) + f'x(X0,Y0)(X-X0) +f'y(X0,Y0)(Y-Y0)

In tale equazione f(X0,Y0) e' la terza coordinata di P;

f'x(X0,Y0) e' la derivata rispetto X in P;

f'y(X0,Y0) e' la derivata rispetto Y in P.

9)MASSIMI E MINIMI LIBERI DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Si eseguono attentamente i seguenti passaggi:

a)Si risolve il sistema

f'x(X,Y)=0

f'y(X,Y)=0

e si trovano le coordinate degli eventuali punti di MINIMO e MASSIMO

b)Si calcola l'HESSIANO f"xx f"xy

H(X,Y)=

f"yx f"yy

c)Si sostituiscono le coordinate dei punti trovati in a) nel risultato trovato in b).Si trovano gli H(Xi,Yi).

1)H(Xi,Yi) risultano >0 allora vedi il punto e)

Se 2)H(Xi,Yi) risultano =0 """ "" " "" f)

3)H(Xi,Yi) risultano <0 """ "" " "" g)

e)Se f"xx>0 allora il punto risulta MINIMO RELATIVO

"" f"xx<0 """ " "" "" " MASSIMO RELATIVO

f) Risulta un caso ambiguo.Cercare qualche LINEA DI LIVELLO in prossimita' del punto considerato.

g) Se risulta f"xx * f"yy <0 allora il punto e' PUNTO DI SELLA

"" """ f"xx * f"yy =0 Caso ambiguo-->Linee di livello

"" """ f"xx * f"yy >0 allora il punto e' PUNTO DI FLESSO

10)MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

VINCOLATI DA UNA EQUAZIONE

Poniamo che Z=f(X,Y) e' la funzione e g(X,Y)=0 e' il vincolo

Utilizziamo un quadro che facilita lo studio

a)Si considera la FUNZIONE LAGRANGIANA

T=f(X,Y) + k*g(X,Y)

b)Si esegue il sistema:

f'x(X,Y) + k*g'x(X,Y) =0

f'y(X,Y) + k*g'y(X,Y) =0

g(X,Y)=0

Esso e' ottenuto derivando la funzione lagrangiana rispetto la variabili X,Y e k. Con successivo passaggio tale sistema diventa

f'x(X,Y)*g'y(X,Y)=f'y(X,Y)*g'x(X,Y)

g(X,Y)=0

Risolto tale sistema si trovano gli eventuali punti di MINIMO e MASSIMO VINCOLATI.

c)Si calcola l'HESSIANO ORLATO:

0 g'x(X,Y) g'y(X,Y)

H(X,Y)= g'x(X,Y) T"xx T"xy

g'y(X,Y) T"yx T"yy

d)Risolto tale determinante e sostituiti le coordinate dei punti trovati nel punto b) possono avvenire i seguenti casi:

1)H(x0,y0)>0 :il punto risulta di MASSIMO

2)H(x0,y0)=0 :caso ambiguo-->linee di livello

3)H(xo,yo)<0 :il punto risulta di MINIMO

11)MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE A 2 VARIABILI

CON VINCOLI DATI DA DISEQUAZIONI LINEARI

Si procede anche in questo caso eseguendo i seguenti passaggi:

a)Si determina,attraverso il metodo grafico,la figura piana soluzione del sistema dei vincoli(Vedi anche PROGRAMMAZIONE LINEARE)

b)Si calcolano i MASSIMI e MINIMI liberi della FUNZIONE Z=f(X,Y) che stanno dentro la figura come al punto a)

c)Si cercano i punti di MINIMO e MASSIMO nella frontiera sostituendo le equazioni di essa nella FUNZIONE data che diventa,cosi,ad 1 variabile

d)Si cerca la quota dei vertici della figura del punto a) e si confronta con quella dei punti trovati prima.

e)Si definisce il minimo e massimo assoluto con i risultati ottenuti.