Maturità Scientifica, Corso di ordinamento, Sessione Ordinaria 2001-2002

Problema 1

In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) è assegnata la curva k di

equazione   f(x)=   (x² +2) / (x³  +2)    .

a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano

y<0.

b) Trovare l'equazione della parabola passante per l'origine O degli assi e avente l'asse di

simmetria parallelo all'asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto

di ascissa -1 (N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un'altra in un punto se le

rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari).

c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa -1 ha in comune con k altri

punti oltre a quello di tangenza.

d) determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all'asse x.

e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si

possa applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all'intervallo   -Ö2 < x<0 (inclusi gli estremi)