RISOLUZIONE DEL PROBLEMA 2
a)
Costruzione geometrica della figura fissando come base del triangolo
BC.
·
Si ricorda una conseguenza del Teorema di Talete: Il segmento che
unisce i 2 punti medi M e N di due lati AD e AE di un triangolo è parallelo al
terzo lato DE e risulta uguale alla metà di questo terzo lato.Quindi
MN=DE/2
·
La superficie del quadrilatero(trapezio) MNED risulta S1=
(DE+MN)*h/2*1/2 =(DE+1/2DE)*h/2*1/2= 3/8DE*h
·
La superficie del triangolo ABC risulta S2=3*DE*h*1/2= 3/2DE*h =
4*3/8DE*h cvd
b)
Se la base BC=15a DE=5a MN= 5/2a
. L’altezza h/2 del trapezio
risulta h/2= 2*S1/(3/2DE) = 2*(45/2)/(3/2*5)a = 6a .
Quindi h=12a
. Se il trapezio è rettangolo allora essa risulterebbe AD e pertanto
deve valere la relazione pitagorica
(AB)2= (BD)2+(AD)2
e ciò è vero essendo(tralasciando a) 169=(25+144).
c)
Tralasciando a, e considerato ora un sistema di assi cartesiani con B=O, risulterà B=(0,0) ; C=(15,0) ;
D=(5,0) ; E=(10, 0) ;
M=(5 ,6) , ed essendo MN=5/2 si ha N=(5+5/2 ,
6)=(15/2 , 6) , si deve trovare l’equazione della parabola con asse verticale e
passante per M,N,C . Si considera allora l’equazione y=ax2+bx+c e si
risolve il sistema con le condizioni di passaggio per M,N,C. Si ha un sistema
lineare a 3 equazioni e 3 incognite a,b,c.
Risolto il sistema si troverà
a= -2/25 ,
b=1 e c= 3,
d)
Per trovare le aree delle regioni in cui tale parabola divide il
triangolo ADC, si deve innanzitutto notare che la retta AC incontra la
parabola, oltre che in C anche nel punto F, del quale si devono prima trovare
le coordinate facendo il sistema tra la retta AC [della quale si troverà
l’equazione(retta per 2 punti A e C) che risulterà y=-6/5x+18 ] e la parabola e si troverà
F=(25/2 , 3).
Le aree che si dovranno trovare sono quindi tre:
1)il segmento
parabolico di base FC la cui area si troverà con l’integrale definito esteso da
25/2 a 15 della differenza tra parabola e retta AC,
2) il trapezoide MFCD la cui area si troverà con la differenza tra l’integrale
esteso da 5 a 15 della parabola e l’area del segmento parabolico trovato prima
;
3) il triangoloide AMF la cui area si troverà con l’integrale definito esteso da 5 a
25/2 della differenza tra la retta AC e la parabola.
Le tre aree risulteranno
A1=5/24 ; A2=1945/24 ; A3=135/8