ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE PNI

a. s. 2002-2003

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio t di diametro OA = a, la retta t tangente a t. in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con t , il punto C intersezione di r con t.

La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo

geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese,(1718-1799)].

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni:

OD : DB = OA : DP

OC : DP = DP : BC

ove D è la proiezione ortogonale di B su OA.

2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e mono-metriche

Oxy, l’equazione cartesiana di G è: y= a³ / (x² + a² )

3. Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del

cerchio t