QUESTIONARIO

1. Dopo aver fornito la definizione di “rette sghembe”, si consideri la seguente proposizione: «Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono sghembe e, così

pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe». Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

2. Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche

dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.

3. Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può accedere in alcun modo, così da impedire una misura diretta della distanza AB. Dal punto A si può però accedere

al punto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B in modo che, pur rimanendo impossibile misurare direttamente la distanza PB, è tuttavia possibile misurare la distanza AP. Disponendo degli stru-menti di misura necessari e sapendo che P non è allineato con A e B, spiegare come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare la distanza AB.

4. Il dominio della funzione f(x)= ln[ Öx +1 - (x-1) ] è l’insieme degli x reali tali che:

A) -1<x<= 3; B) -1=< x<3; C) 0<x<= 3; D) 0<= x<3.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta effettuata.

5. La funzione y= 2x³ – 3x² +2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della

funzione è positivo o negativo.

6. La derivata della funzione f(x)= integrale definito da 0 a x² di e^{-t^2} è la funzione f’(x)= 2xe^{-x^2}. Eseguire tutti i passaggi necessari a giustificare l’affermazione.

7. Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1: 1, 2, 3, …, n-1, n, moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta uguale a:

A) ¼ n²(n+1)² ; B) 1/3 n(n²-1) ; C) 1/24 n(n+1)(n+2)(3n+1) ;

D) 1/24 n( n² –1)(3n+2)

.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta effettuata.

8. x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x-y=2 . Il numero

x³ –y³:

A) è divisibile per 2 e per 3.

B) è divisibile per 2 ma non per 3.

C) è divisibile per 3 ma non per 2.

D) non è divisibile né per 2 né per 3.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

9. Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.

10. Il valore dell’espressione log₂ 3 * log₃2 = 1. Dire se questa affermazione è vera o falsa e fornire una esauriente spiegazione della risposta.