MATURITA’ SCIENTIFICA 2005 PNI

PROBLEMA 2

Si consideri la funzione f definita sull’intervallo [0, +µ [ da:

[ f(0)=1 e f(x)= ½ x² (3 – 2logx) +1 se x>0 ]

e sia C la sua curva rappresentativa nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico.

1. Si stabilisca se f è continua e derivabile in 0.

2. Si dimostri che l’equazione f(x) = 0 ha, sull’intervallo [0, +µ [ , un’unica radice reale.

2. Si disegni C e si determini l’equazione della retta r tangente a C nel punto di ascissa x =1.

4. Sia n un intero naturale non nullo. Si esprima, in funzione di n, l’area An del dominio piano delimitato dalla curva C, dalla retta tangente r e dalle due rette: x= 1/n e x=1.

5. Si calcoli il limite per nà+µ di An e si interpreti il risultato ottenuto.