PROBLEMI DI SCELTA O DI DECISIONE +

IL PROBLEMA DELLE SCORTE (SCELTAPR)

a cura del Prof.Sampognaro Giuseppe

Si definisce PROBLEMA DI SCELTA O DI DECISIONE ogni problema atto ad OTTIMIZZARE una funzione economica.

Di regola la FUNZIONE ECONOMICA e' data da una FUNZIONE PROFITTO oppure da una FUNZIONE COSTI.La FUNZIONE PROFITTO si ottimizza cercando di essa il MASSIMO valore.La FUNZIONE COSTO si ottimizza cercando di essa il MINIMO valore.

Ogni PROBLEMA DI SCELTA puo' dipendere da 1 o piu' variabili.

Ogni VARIABILE detta DI AZIONE assume valori di regola VINCOLATI a restrizioni dati da segni,o disponibilita' di risorse,o disponibilita' di magazzino,o disponibilita' di richieste di mercato.

In funzione delle CONSEGUENZE i PROBLEMI DI SCELTA si distinguono in:

1)PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA se i dati e le conseguenze vengono stabiliti a priori(subito);

2)PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA quando possono subentrare nei dati VARIABILI CASUALI determinabili da relative probabilita'.

In funzione dell'INTERVALLO DI TEMPO ESISTENTE TRA IL MOMENTO DELLA DECISIONE E QUELLO DELLA REALIZZAZIONE i PROBLEMI DI SCELTA si distinguono in:

A)PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI IMMEDIATI

B)PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI

Si esamineranno ora distintamente tutti i vari casi che si possono presentare per tutti i PROBLEMI DI SCELTA

1A)PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA CON

EFFETTI IMMEDIATI

Si possono presentare i seguenti piu' importanti 2 sottocasi:

a)PROBLEMI DI SCELTA nel caso continuo

b)PROBLEMI DI SCELTA fra 2 o piu' alternative

a)PROBLEMI DI SCELTA nel caso continuo

In questo caso si devono cercare i massimi o minimi di una funzione ad 1 variabile con relativa rappresentazione grafica.

Per poter scrivere l'equazione della funzione bisogna studiare inizialmente i PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ANALISI ALL'ECONOMIA nella tesina relativa.

Ricordare a proposito che

1)La FUNZIONE PROFITTO e' data dalla differenza tra FUNZIONE RICAVI-FUNZIONE COSTI ovvero che Z(x)=R(x)-C(x)

2)Dalla FUNZIONE DOMANDA si ricava la FUNZIONE PREZZI ovvero che da x=n-a*p si ricava p=(n-x)/a dove x e' la domanda(quantita' dei beni richiesta dal mercato) mentre p e' il prezzo.

3)Se viene data la FUNZIONE RICAVI y=R(x) oppure la FUNZIONE PROFITTO y=Z(x),di queste funzioni si deve cercare il MASSIMO

4)Se viene data la FUNZIONE COSTI y=C(x),di questa funzione si deve cercare il MINIMO.

Le funzioni suddette sono generalmente date da una FUNZIONE PARABOLICA (di cui si cerchera' il vertice che risultera' il MASSIMO o MINIMO richiesto)

Piu' raramente le funzioni suddette sono date da FUNZIONI LINEARI e da FUNZIONI RAZIONALI INTERE.

Si puo' anche richiedere la FUNZIONE COSTO UNITARIO che risultera' essere il rapporto tra la FUNZIONE COSTI e la quantita' x ovvero

FUNZIONE COSTO UNITARIO=C(x)/x.

Dopo aver individuato il MASSIMO o MINIMO ricordare che per trovare il valore del MASSIMO RICAVO,o il valore del MASSIMO PROFITTO o il valore del MINIMO COSTO si deve sostituire il valore trovato nella FUNZIONE relativa.

b)PROBLEMI DI SCELTA fra 2 o piu' alternative

Questi PROBLEMI DI SCELTA differiscono dai precedenti poiche' si devono in essi confrontare piu' FUNZIONI ECONOMICHE della stessa specie e definire,su intervalli particolari della variabile indipendente,quale FUNZIONE ECONOMICA e' da preferire>

Poniamo il caso di avere trovato 3 FUNZIONI PROFITTO.

Poniamo di averle rappresentate e di avere trovato anche i loro punti di intersezione con i relativi sistemi.

Siano y=Z1(x);y=Z2(x);y=Z3(x) le tre FUNZIONI PROFITTO

Sia x1 l'intersezione di y=Z1(x) e y=Z2(x);

Sia x2 l'intersezione di y=Z2(x) e y=Z3(x);

Poniamo che risulta x1<x2 ;

Poniamo anche che Z1(x)>Z2(x)>Z3(x) in 0<x<x1

"""" """ "" Z2(x)>Z3(x)>Z1(x) in x1<x<x2

"""" """ "" Z3(x)>Z2(x)>Z1(x) in x>x2

In questo esempio possiamo affermare che e' conveniente utilizzare la FUNZIONE PROFITTO Z1(x) nell'intervallo 0<x<x1

""""" """" Z2(x) """""""""" x1<x<x2

""""" """" Z3(x) """""""""" x>x2

E' logico che avverra' il contrario in presenza di FUNZIONI COSTO

1B)PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA

CON EFFETTI DIFFERITI

Si possono presentare i seguenti piu' importanti sottocasi:

a)Criterio dell'attualizzazione

b)Criterio del tasso effettivo d'impiego

Dai 2 sottocasi scritti si intuisce che si deve riprendere la MATEMATICA FINANZIARIA studiata al quarto anno e della quale si riportano le FORMULE PIU' IMPORTANTI che servono in questa circostanza:

=================

INTERESSE CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE I=C*i*t

MONTANTE CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE M=C*(1+i*t)

VALORE ATTUALE (RAZIONALE) CAPITALIZZ.SEMPLICE C=M/(1+i*t)

VALORE ATTUALE CAPITALIZZ.COMMERCIALE C=M*(1-d*t)

MONTANTE CAPITALIZZ.COMPOSTA M=C*(1+i)^n=C*un

VALORE ATTUALE CAPITALIZZ.COMPOSTA C=M*(1+i)^(-n)=M*vn

MONTANTE RENDITA POSTICIPATA M=R*s[n/i]

MONTANTE RENDITA ANTICIPATA M=R*s[n/i]*(1+i)

VALORE ATTUALE RENDITA POSTICIPATA A=R*a[n/i]

VALORE ATTUALE RENDITA ANTICIPATA A=R*a[n/i]*(1+i)

VALORE ATTUALE RENDITA PERPETUA POST. A=R/i

VALORE ATTUALE RENDITA PERPETUA ANT. A=(R/i)*(1+i)

Legenda: C=capitale;i=tasso relativo decimale;t=tempo relativo decimale;d=tasso commerciale relativo decimale

Ricordare anche che s[n/i]=[(1+i)^n - 1]/i

a[n/i]=[1 - (1+i)^(-n)]/i

Ricordare anche le formule dei tassi equivalenti:

i=Radice ennesima(in+1) -1

in=(1+i)^n -1

jn=in*n

dove leggasi i=tasso effettivo annuo;in=tasso frazionato n volte nell'anno;jn=tasso convertibile n volte nell'anno

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a)CRITERIO DELL'ATTUALIZZAZIONE

Poniamo di dover decidere su un investimento o su una somma di cui si dispone o sull'acquisto di un determinato bene avente un certo costo.

La logica ci porta a decidere in quale modo piu' conveniente e' necessario attuare l'investimento.

Per capire meglio l'argomento facciamo un esempio pratico:

Desideriamo acquistare un appartamento del costo di L 60.000.000

Ci vengono offerte 3 alternative:

1)Acquisto in contanti

2)Versamento immediato della terza parte e il resto con 10 rate annue posticipate di L 6.000.000 al tasso annuo del 8%

3)Nessun anticipo e versamento di 15 rate annue anticipate di

L 7.000.000 al tasso annuo del 8%

Il nostro compito e' calcolare l'investimento piu' conveniente ovvero constatare con quale dei tre metodi l'appartamento ci viene a costare di meno.

Analizzo allora distintamente i 3 casi:

1)Con il versamento in contanti l'immobile costa L 60.000.000

2)Il versamento immediato della terza parte e' di L 20.000.000;

Il valore attuale della rendita posticipata risulta essere uguale ad A=R*a[n/i]=6.000.000*a[10/8%]=6.000.000*6,71008=40.260.480

Di conseguenza con l'alternativa 2 l'immobile ci costa

L 20.000.000+40.260.480=L 60.260.480

3)Il versamento di 15 rate di L 7.000.000 con rendita anticipata porta al valore attuale A=7.000.000*a[15/8%]*(1+8%)=7.000.000*8,55947*1,008=60.395.620

Da tali risultati scaturisce che conviene l'alternativa 1) ovvero che conviene comprare l'immobile in contanti.Notare che si puo' verificare che se il tasso fosse dle 12% converrebbe l'alternativa 3.

b)CRITERIO DEL TASSO EFFETTIVO D'IMPIEGO

Anche in questo caso si presentano 2 o piu' alternative per investire una certa somma o per acquistare un certo bene avente un determinato costo.

Si procede eseguendo i seguenti passaggi:

1)Si calcolano i valori attuali delle due o piu' alternative in modo distinto

2)Si uguaglia ciascun valore attuale al valore attuale dell'investimento

3)Si risolvono le 2 o piu' equazioni che si vengono a trovare nell'incognita i (tasso effettivo dell'impiego)

4)Il valore minore del tasso porta a stabilire quale e' la alternativa migliore

N.B)Di regola nella risoluzione si devono risolvere equazioni trinomie nell'incognita 1+i.E' conveniente porre (1+i)^n=x.

Inoltre,se sono presenti rendite,si devono ricordare le formule relative ad s[n/i] e ad a[n/i]

2 A/B)PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

ED EFFETTI IMMEDIATI E DIFFERITI

In questi problemi sono presenti delle grandezze che assumono valori che non si possono predeterminare ma che dipendono dal verificarsi dell'evento considerato in funzione di una certa probabilita'.Tali eventi aleatori(o casuali)sono incompatibili a 2 a 2 e la loro somma logica(probabilita' totale) risulta essere l'evento certo al quale si tende per avere la certezza di riuscita del problema.Esisteranno quindi un certo numero di ALTERNATIVE che chiameremo A1,A2,...An e degli EVENTI che chiameremo E1,E2,...Em.

Tali EVENTI sono generalmente associati a rispettive PROBABILITA' che chiameremo P1,P2,...Pm.In funzione di una ALTERNATIVA corrisponderanno m EVENTI con m relative PROBABILITA'.

Si possono presentare 2 tipi di problemi in condizioni di incertezza con effetti immediati(caso a e caso b) e 1 tipo di problema in condizioni di incertezza con effetti differiti(caso c)

a)CRITERIO DEL VALOR MEDIO

Siano E1,E2,...Em gli EVENTI associati alle probabilita' P1,P2,..Pm.Siano A1,A2,...An le alternative.L'alternativa A1 e' associata all'Evento E1 dalla grandezza a11;la stessa alternativa e' associata all'EVENTO 2 dalla grandezza a21 etc.Si viene cosi' a formare una matrice di grandezze aik dove l'indice i si riferisce all'EVENTO mentre l'indice k si riferisce all'ALTERNATIVA.

Il CRITERIO DEL VALOR MEDIO (o della speranza matematica) consiste nel calcolare,per ogni alternativa,il valor medio dei risultati dati dalla SOMMATORIA dei prodotti dati dalla formula:

$(aik*pi)

Si scegliera' quindi il valore maggiore se se cerca il profitto o guadagno o ricavo massimo e viceversa si scegliera' il valore minore se si cerca un costo minimo.

Per chiarire meglio l'argomento si presenta un semplice esempio:

Per la produzione di un bene un'industria puo' seguire 2 processi produttivi che comportano costi diversi.

Le due alternative sono:

A1)Spese fisse di L 500.000 e costo di L 800 per ogni pezzo prodotto

A2)Spese fisse di L 100.000 e due costi supplementari di L 1000 per ogni pezzo prodotto e un costo di manutenzione pari al 5% del quadrato delle quantita' prodotte.

Il bene e' venduto a L 2.000 al pezzo.

Sappiamo anche che le quantita' vendute sono aleatorie(casuali) ed hanno le relative probabilita':

Quantita'--> 500 1.000 1.500 2.000 2.500

Probabilita'--> 0,10 0,25 0,30 0,20 0,15

Si chiede quale risulta il processo produttivo piu' conveniente.

Innanzitutto dal testo si comprende (processo produttivo piu' conveniente) che si deve calcolare,per ogni alternativa,la FUNZIONE PROFITTO=FUNZIONE RICAVO - FUNZIONE COSTI e quindi per l'alternativa A1 risulta Z=2.000*X-800*X-500.000=1.200*X-500.000

Per l'alternativa A2) Z=2.000*X-1.000*X-0,05*X^2-100.000=1.000*x-0,05*X^2-100.000

In base a queste funzioni si costruisce la seguente tabella:

Quantita' Alternative Probabilita'

A1 A2

500 100000 387500 0,10

1000 700000 850000 0,25

1500 1300000 1287000 0,30

2000 1900000 1700000 0,20

2500 2500000 2087500 0,15

Per l'alternativa A1 il VALOR MEDIO risulta

M(A1)=100000*0,10+...+2500000*0,15=1330000

Per l'alternativa A2 il VALOR MEDIO risulta

M(A2)=387500*0,10+...+2087500*0,15=1290625

Di conseguenza il processo produttivo piu' conveniente e' dato dall'alternativa A1.

b)CRITERIO DEL MAXIMIN o DEL MINIMAX detto anche

CRITERIO DEL PESSIMISTA

Risulta essere un criterio molto semplice seppur molto discutibile.

Si svolge un problema con il criterio del valor medio e quindi,se si deve cercare un massimo profitto o ricavo o guadagno,si vanno a cercare i MINImi valori trovati per le due alternative per una determinata quantita'.Nel caso dell'esercizio precedente si considera la quantita' 500 con 100000 in A1 e 387500 in A2.Si accetta quindi il MAX valore che e' 387500 e quindi conviene con tale criterio l'alternativa A2.

Nel caso che si doveva calcolare un MINImo costo si prendevano i MAXI valori e di essi si prendeva il MINImo.

c)PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA ED EFFETTI DIFFERITI

Risultano essere problemi molto simili a quelli in condizioni di certezza con effetti differiti solo che i ricavi o i costi dipendono da variabili casuali e quindi sono anche da considerare relative probabilita'

Si presenta un esempio che chiarisce quanto detto:

Si vuole investire il capitale di L 16.000.000 e si puo' scegliere tra le due alternative:

A1)Ricavo tra 2 anni di L 15.000.000 certe e fra 4 anni L 15.000.000 con probabilita' del 70% oppure L 25.000.000 con probabilita' del 30%.

A2)Ricavo per 4 anni rate di L 10.000.000 posticipate con probabilita' del 40% oppure rate di L 7.000.000 con probabilita' del 60%.

Si chiede l'operazione piu' conveniente al tasso del 9%

Le 2 probabilita' determinano una somma logica di due eventi (si noti il termine <oppure>)

Per l'alternativa A1 si avra':

15000000*1,09^(-2)+15000000*1,09^(-4)*0,7+25000000*1,09^(-4)*0,3-16000000=9376854(GUADAGNO EFFETTIVO)

Per l'alternativa A2 si avra':

10000000*a[4/0,09]*0,4+7000000*a[4/0,09]*0,6-16000000=10565703(GUADAGNO EFFETTIVO)

Di conseguenza l'investimento migliore e' dato dall'alternativa A2

PROBLEMA DELLE SCORTE

Un problema molto importante per le imprese e' quello delle scorte in magazzino.

Necessita allora trovare un procedimento valido affinche' l'impresa possa definire una quantita' di merce da ordinare

ogni volta per non avere la stessa in eccesso e neanche in difetto.

Il metodo migliore e' il seguente:

1)Determinare una quantita' di merce necessaria per un dato intervallo di tempo che chiameremo Q

2)Definire la spesa fissa per ogni ordinazione che chiameremo S

3)Definire la Capienza del magazzino che chiameremo C

4)Riportare tutte le grandezze a un ben determinato periodo attraverso semplici equivalenze(ovvero tutte le grandezze devono essere riferite o all'anno,o al semestre etc)

Co queste premesse si puo' dire che per essere ottimale l'ordinazione si deve cercare il minimo della funzione costi espressa dalla funzione:

y=S * (Q/x) + s * (x/2) con il vincolo 0<x<=C

Stare attenti al fatto che se il risultato minimo di x supera il valore di C (Capienza del Magazzino) allora conviene ordinare volta per volta C quantita'.